Ο μαθηματικός πλατωνισμός είναι σχολή της φιλοσοφίας των μαθηματικών. Πρεσβεύει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αφηρημένες οντότητες που έχουν αντικειμενική υπόσταση, ανεξάρτητη από τον μαθηματικό που τα ερευνά.

Οι ερμηνείες που έχουν διατυπωθεί σχετικά με τον “πλατωνισμό” και το περιεχόμενό του ποικίλουν από εντελώς ρεαλιστικές έως νοησιαρχικές ή/και ψυχολογιστικές. Η σχολή, όμως, που στη φιλοσοφία των μαθηματικών αποκαλείται “μαθηματικός πλατωνισμός” δεν μπορεί να ενταχθεί παρά μόνον στον ρεαλισμό. Κατ’ ουσίαν έχει στοιχειοθετηθεί ως σχολή προκειμένου να διακρίνει εαυτήν από σχολές που θεωρούν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα και θεωρήματα είναι δημιουργήματα της συνείδησης (ιντουισιονισμός) ή ότι αποτελούν ένα «απλό παιχνίδι μεταξύ συμβόλων» (φορμαλισμός) ή, ακόμα, ότι μια μαθηματική φόρμουλα είναι αληθής μόνο εάν είναι, κατ’ αρχήν, αποδείξιμη (αντιρεαλισμός). Σύμφωνα με τον μαθηματικό πλατωνισμό: (i) τα μαθηματικά αντικείμενα “υπάρχουν εκεί έξω”, ανεξάρτητα από εμάς, όμοια με τα φυσικά αντικείμενα, με την διαφορά ότι είναι αφηρημένα, και (ii) τα θεωρήματα των μαθηματικών αναπαριστούν τις αντικειμενικές σχέσεις που διέπουν τα τελευταία. Αυτό συνεπάγεται μία σειρά από θέσεις και μεθοδολογικές πρακτικές, τις οποίες θα αναπτύξουμε εν συντομία στην συνέχεια. Ο όρος “μαθηματικός πλατωνισμός” εμφανίζεται κατά το πρώτο μισό του 20ου αιώνα, αλλά διεκδικεί αναδρομικά πολλές σχολές, φιλοσόφους και θεωρίες. Η πλέον προβεβλημένη από αυτές τις σχολές είναι ο λογικισμός, με κυριότερους εκπροσώπους τον Ράσσελ και, κατά μία τουλάχιστον ερμηνεία, τον Φρέγκε. Σύμφωνα με αυτήν τη σχολή, οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή τα θεμελιώδη μαθηματικά αντικείμενα, αποτελούν συγκεκριμένα σύνολα συνόλων. (Ο φυσικός αριθμός ν είναι το σύνολο όλων των συνόλων που αποτελούνται από ν στοιχεία.) Αυτά τα σύνολα είναι αφηρημένα αντικείμενα του κόσμου, τα οποία υπάρχουν ανεξάρτητα από τη συνείδηση. Ο λογικισμός θεωρεί ότι τα μαθηματικά θεωρήματα αναπαριστούν τις αντικειμενικές σχέσεις που τα διέπουν, και ο μαθηματικός καλείται απλά να τις ανακαλύψει. Αντίθετα, μη πλατωνικές/ρεαλιστκές σχολές στη φιλοσοφία των μαθηματικών πρεσβεύουν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα και θεωρήματα είναι κατασκευές της συνείδησης (ιντουισιονισμός), ή ότι προκύπτουν βάσει κάποιων μετασχηματισμών ενός αρχικού συνόλου αξιωμάτων, τα οποία εδώ εκλαμβάνονται ως ακολουθίες συμβόλων στερούμενες νοήματος (φορμαλισμός). Ο μαθηματικός απλά ανακαλύπτει ποιες ακολουθίες συμβόλων επιτρέπεται να προκύψουν από τα αξιώματα, βάσει κάποιων συγκεκριμένων και δεδομένων κανόνων μετασχηματισμού. Τόσο ο ιντουσιονισμός όσο και ο φορμαλισμός (τουλάχιστον αυτός του Χίλπερτ) έχουν καντιανές καταβολές και, ως εκ τούτου, καθιστούν την συνείδηση παράμετρο της μαθηματικής πρακτικής. Ίσως ο πλέον χαρακτηριστικός εκπρόσωπος του μαθηματικού πλατωνισμού κατά τον 20ό αιώνα υπήρξε ο Γκαίντελ. Σε δύο εμβληματικά δοκίμια, σκιαγραφεί τις βασικές αρχές του μαθηματικού πλατωνισμού. Αν και ο πλατωνισμός του δεν είναι άμοιρος ιντουισιονιστικών στοιχείων, αυτά αφορούν τη μαθηματική γνωσιολογία και όχι τη μαθηματική οντολογία. Ουσιαστικά, ο μαθηματικός πλατωνισμός του Γκαίντελ έχει κρατήσει την τεχνική του φορμαλισμού, αλλά θεωρεί ότι οι φόρμουλες δεν στερούνται νοήματος και ότι ο μαθηματικός έχει την δυνατότητα να επιλέγει το τυπικό πλαίσιο της εργασίας του επί τη βάσει όσων ο ίδιος θεωρεί ως αντικειμενική αλήθεια για τα μαθηματικά αντικείμενα. Επί παραδείγματι: Ο Γκαίντελ πιστεύει ότι η Υπόθεση του Συνεχούς είναι αληθής. Εντούτοις, καμία από τις τρέχουσες θεωρίες συνόλων δεν μπορεί να την αποδείξει, και έχει επίσης αποδειχτεί ότι, αν αυτές είναι συνεπείς, δεν θα την αποδείξουν ποτέ – ακόμα κι αν η υπόθεση είναι αληθής. Σε αντίθεση με τους φορμαλιστές, οι οποίοι αρκούνται στην διαπίστωση ότι Υπόθεση του Συνεχούς είναι μη αποφάνσιμη από την θεωρία συνόλων, ο Γκαίντελ πιστεύει ότι η διαίσθηση πρέπει να μας οδηγήσει σε μια αναθεώρηση/αλλαγή των αξιωμάτων των τρεχουσών θεωριών συνόλων, μέχρις ότου η προαναφερθείσα υπόθεση καταστεί θεώρημα. Μία από τις πλέον ενδιαφέρουσες κριτικές που έχει δεχτεί ο μαθηματικός πλατωνισμός είναι το λεγόμενο «πρόβλημα του Μπενάσεραφ». Τα μαθηματικά αντικείμενα, σύμφωνα με τον μαθηματικό πλατωνισμό, είναι και αφηρημένα και αυθύπαρκτα. Το πρόβλημα που σκιαγράφησε ο εν λόγω φιλόσοφος έχει –με παραλλαγές– ως εξής: Αν τα δύο παραπάνω ισχύουν για τα μαθηματικά αντικείμενα· αν, επιπλέον, (i) δεν μπορεί το γνωστικό υποκείμενο να αποκτήσει γνώση του γνωστικού του αντικειμένου χωρίς να υποστεί κάποια αιτιακή επίδραση από αυτό· και αν (ii) o μαθηματικός με την εργασία αποκτά κάποια γνώση των μαθηματικών αντικειμένων – τότε συνεπάγεται ότι κάτι αφηρημένο, δηλαδή η μαθηματική οντότητα, έχει αιτιακές επιδράσεις σε κάτι χωροχρονικό, δηλαδή τον μαθηματικό. Άπαξ και δεν είναι καθόλου σαφές το πώς κάτι το αφηρημένο μπορεί να έχει αιτιακές αλληλεπιδράσεις με οτιδήποτε, η υπόθεση ότι είναι δυνατή από εμάς η γνωσιακή πρόσβαση στα κατά πλατωνισμό μαθηματικά αντικείμενα καθίσταται κάθε άλλο παρά αυτονόητη. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει εδώ ότι ο ίδιος ο Πλάτων αναπτύσσει στον διάλογο Σοφιστής (247d-249d, κυρίως 248c-249a) ένα παρεμφερές επιχείρημα σχετικά με τις (άυλες) Ιδέες και το πώς είναι δυνατόν να αλληλεπιδρούν αιτιακά με εμάς. Άπαξ και πιστεύουμε ότι είναι δυνατόν να αποκτηθεί γνώση των ιδεών και κάθε γνώση προϋποθέτει μια αιτιακή αλληλεπίδραση μεταξύ αυτού του γνωρίζει και του πράγματος για το οποίο γνωρίζει κάτι, πώς ο άνθρωπος είναι δυνατόν να γνωρίσει τις ιδέες;